2 个回答
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| 2017-10-09 12:25:31 广告
从微分形式的角度说，dx是个1形式，也就是余切丛的截面。
从测度和积分的角度来说，可以把dx理解成标准的Lebesgue测度，把f(x)dx理解成密度为f的测度。
因为微分形式可以被积分，自然也就诱导了一个测度，所以在光滑的情形两种描述没什么区别。
当然直观上还是来自于无穷小量的直觉，数学上也有如上所述的严格的formalism。
我的点在于：数学上对dx这种东西有严格的定义，而不在于让答主完全理解这个定义。至少答主以后用dx什么的就更放心了，不是么？
另外有人推荐Arnold的经典力学的数学方法讲微分形式的那一章，说是对非数学理工科背景的人有帮助。那我就顺便也推荐一下。不过我自己大二的时候看From Calculus to Cohomology的时候就是从微分形式的直接数学定义出发的，理解上有些难度但并非不可逾越。Arnold的那种看起来很直观很“物理”的语言，我反而不喜欢，太啰嗦。
我写答案也不可能让每个人都看懂。就算我用Arnold那一套比较物理的语言写答案，文科生们应该也看不懂吧。而且我觉得微分形式也不是多难理解的事情。题主作为一个大四的本科生，我觉得他花点时间看看资料（比如我提到的From Calculus to Cohomology或者经典力学的数学方法）就知道得差不多了。反正我大二的时候以一个转专业到数学的学生的知识水平看这本书照样能看下去，没必要说得那么难。
再说句题外话：楼主学物理就不要太纠结数学的严格性，在我们学数学的看来学物理的思维都是比较飘逸发散的。在学比如量子场论的时候非要纠结重整化之类的在数学上到底是怎么一回事那就完蛋了。这是数学家和物理学家们都没有解决的问题呢。。本问答由匿名用户提供
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| 2017-10-09 12:22:15 广告
物理学对现实世界的观察和描述，都建立在分析(Divide and Conquer)基础上，而分析就必须先确定最小抽象，也就是基本分析单元：标量、矢量、张量、乃至Clifford量，然后再考察这些分析单元经位移、旋转、梯度、散度、扭结、塑性形变等变换后，发生的连续/非连续、线性/非线性、时变/非时变、可逆/非可逆等复杂变化，以及从个体到多体产生的新系统特征。
描述物体质量、体积、密度、温度、压强等的标量，描述速度、做功、动量、角速度等的矢量，描述非均匀场和各种复杂变化的张量。。。。。。，一切物理量，归根结底要表达成基本分析单元的数量关系，并用它们对现实对象的某些特征作近似度量和数学抽象，以便建立纯数学模型，应用数学抽象规则。
显而易见，标量是对现实世界基本单元最粗线条的度量和抽象，用来分析伽利略时代的物理问题够用，但如果要拿来描述星体运动规律，就必须用到更精确的抽象——矢量，而若涉及到空间形变等相对论问题，矢量也不够用了，必须用到张量和相应的黎曼几何，目前物理学主流还没发展到以更精细完整的Clifford量为基本单元，用它重写相对论和量子场论带来的精度提升抵不过它本身复杂性的增加，但未来新理论必定不会止步于对现实世界仅仅以张量进行基本抽象，内涵更多维度的基本分析量必定会被发掘使用。
基本上，物理学对分析单元的选择，是在满足精度需要的前提下，选择计算最简便的方式，也就是内涵维度较低的基本分析单元。了解物理学的这个特点，就知道一个物理对象，是被看作标量质点，还是矢量力源，或张量场汇，抑或Clifford旋量结垛，取决于分析要达成的目标和计算简洁度，建立数量模型是从物理近似出发，数学抽象规则是在数量模型建立以后，才发挥主要作用，模型建立时的物理分析，研究的是如何用基本分析单元及其数量关系逼近现实，而不是纯粹数学抽象规则的应用。
而在数学中，微积分的微元本身虽然是从物理直观抽象出来的，但没有度量精度限制，属于纯粹理性概念，用极限加以严格定义后，只要满足可微可积的条件，就能进行微积分运算，跟其起源时的物理直观已经没有半点联系，物理学数量模型建立后，在具体应用微积分运算规则时，微元对应的是标量微、矢量微、张量微、或Clifford微，乃至标/矢/张/CL函数微，都是可以的，就看所选的基本分析单元哪个用起来方便。
用此分析单元数量化描述分析对象时，描述函数是否满足数学上的可微条件，决定是否可用微分方程形式表示分析对象，同时，数量描述本身又依赖于所用的测度，选择的测度不同，联系基本分析单元和分析对象之间的数量关系就不同，微元(标/矢/张/CL/函数微)本身对应的现实意义也随之不同，而且测度的选择，也决定了微元表示的函数是否满足数学上的可积条件。
勒贝格测度下，标量、矢量、张量、Clifford量，可与人类日常感知的时空概念一一对应，现实中的多数对象，也可用基本单元加以分析化后，在此测度下得到数学上比较简洁的数量关系表达式，而且情况下这些数量关系是可微可积或者数值上近似可微可积的(能找到某种确定的线性关系)。本问答由匿名用户提供
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